sábado, 6 de junio de 2015

PROBLEMAS


PROBLEMAS DE CARDINALIDAD 

Definición

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto.
El símbolo que representa la cardinalidad de un conjunto A es n(A) .

Ejemplo

El conjunto A=\{a,e,i,o,u\} tiene cinco elementos. Por tanto, se tiene que n(A)=5 .

Propiedades de la Cardinalidad

Para dos conjuntos A y B
  1. n(\phi)=0
  2. A=B\rightarrow n(A)=n(B)
  3. A\subseteq B\rightarrow n(A)<=n(B)
  4. n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)
  5. n(U)=n(A)+n(A^c)
  6. n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)
Para tres conjuntos A, B y C
  1. n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)
  2. n(A-(B\cup C))=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)
  3. n((A\cap B)-C)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)
  4. n((A\cup B)-C)=n(A\cup B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)

Nota: En este curso, que tiene un enfoque más aplicado, no se usarán siempre las propiedades para resolver ejercicios. Para ello se hará uso, de preferencia, de los Diagramas de Venn.

Ejemplos de aplicación de Cardinalidad de Conjuntos

Ejemplo

Se encuestó a 100 personas sobre sus preferencias en relación a dos programas (no excluyentes) municipales contra la delincuencia. Los programas recibieron los nombres A y B .
Los resultados fueron los siguientes:
  • 65 no prefieren el programa A
  • 45 no prefieren el programa B
  • 50 prefieren los programas A o B , pero no ambos
Se pide determinar el número de encuestados que prefieren ambos programas.
Sol: Usamos el siguiente Diagrama de Venn
Diagrama ejemplo.png
Según los datos, podemos armar las siguientes ecuaciones
\left\{\begin{matrix} a+b+c+d=100 \\ c+d=65 \\ a+d=45 \\ a+c=50 \end{matrix}\right.
Al resolver el sistema, los valores son los siguientes:
a=15, b=20, c=35, d=30
Luego, el número de encuestados que prefieren ambos programas es 20


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