OPERACIONES CON CONJUNTOS

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y B

Intersección La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Propiedades

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.

UNION DE CONJUNTOS

DEFINICION DE UNION DE CONJUNTOS

La UNION DE CONJUNTOS es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, reunen sus elementos para formar otro conjunto U.
EJEMPLO

El conjunto de los numeros naturalez es la unión del conjunto de los números pares positivos

P

y el conjunto de los números impares positivos.

P = \{ 2, 4, 6, \ldots \}

I = \{ 1, 3, 5, \ldots \}

\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \}

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo,

N = P \cup I

INTERSECCION DE CONJUNTOS

La intersección de dos (o más) conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares

P

y el conjunto de los cuadrados

C

de numeros naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares

D

P = \{2, 4, 6, 8 ,10, \ldots \}

C = \{1, 4, 9, 16, 25, \ldots \}

D = \{4, 16, 36, 64, \ldots \}

En otras palabras: Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A B = { a, e}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo

\cap

por lo que

D = P \cap C

EJEMPLO

Intersección de dos conjuntos

A

B

Dados dos conjuntos

A

B

, su intersección es otro conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es otro conjunto $A \cap B$ cuyos elementos son los elementos comunes a $A$ y $B$ :

$x\in A\cap B\text{ cuando }x\in A\text{ y }x\in B$

Ejemplo.

Sean $A = {5, λ, ♠, c}$ y $B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}$ . Entonces la intersección es $A \cap B = {5, c}$ .

Sean los conjuntos de números naturales $C = {n : n es una potencia de 2}$ y $D = {n : n es un cubo}$ . Su intersección es $C \cap D = {n : n es una potencia de 2 y un cubo} = {n : n es una potencia de 2 cuyo exponente es multiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}$ .

Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacio ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos $A$ y $B$ se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:

$A\cap B=\varnothing$

Generalizaciones

La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (mas abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:

$A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n=A_1\cap(A_2\cap(\ldots(A_{n-1}\cap A_n){\scriptstyle \ldots})$

La definición más general en teoria de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:

Sea $M$ una familia de conjuntos. Su intersección $\cap M$ se define como:

$x\in\bigcap M\text{ si para cada }A\in M\text{ se tiene que }x\in A$

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:

A \cap B = \cap M

, donde

M = {A, B}

A 1 \cap ... \cap A n = \cap M

, donde

M = {A 1, ..., A n}

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:

$\bigcap M=\bigcap_{A\in M}A=\bigcap_{i\in I}A_i\text{ ,}$

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjuntos indice, definiendo

M

como

{A i : i \in I}

Propiedades

Artículo principal: Algebra de conjuntos

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

Idempotencia. La intersección de un conjunto $A$ consigo mismo es el propio $A$ :

$A \cap A = A$

La intersección de $A$ y $B$ es un subconjunto de ambos:

$A \cap B \subseteq A, B$

La intersección de un conjunto $B$ con un conjunto $A$ que lo contenga, deja a $B$ inalterado:

$B \subseteq A \rightarrow A \cap B = B$

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos $A$ y $B \cap C$ es igual a la intersección de los conjuntos $A \cap B y C$ :

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos $A$ y $B$ es igual a la intersección de los conjuntos $B$ y $A$ :

$A \cap B = B \cap A$

Elemento absorbente. La intersección de un conjunto $A$ con el conjunto vacío $\emptyset$ es $\emptyset$ :

$A \cap \varnothing = \varnothing$

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.
En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ , y por tanto:

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , y por tanto:

$A \cap (A \cup B) = A$

Diferencia de conjuntos

La diferencia entre dos conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los numeros naturales

N

y el conjunto de los numeros pares

P

es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares

I

\mathbb N = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \}

P = \{ 2, 4, 6, 8, \ldots \}

I = \{ 1, 3, 5, 7, \ldots \}

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia

P

menos

N

no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacio. La diferencia entre dos conjuntos

A

B

se denota por

A \ B

A - B

, por lo que:

N \ P = I

, y también

P - N = \emptyset

EJEMPLO
Dados dos conjuntos

A

B

, su diferencia es el conjunto que contiene todos los elementos de

A

que no están en

B

La diferencia de $A$ menos $B$ (o entre $A$ y $B$ ) es otro conjunto $A \ B$ (o también $A - B$ ) cuyos elementos son todos aquellos elementos de $A$ que no lo sean de $B$ :

$x\in A\setminus B\text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si }x\in A\text{ pero }x\notin B$

La diferencia entre

A

B

también se denomina complemento relativo de

B

A

, y se denota

∁ A B

, cuando el segundo es un subconjuntos del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y complemento. La norma ISO da preferencia a la notación conbarra invertida^.
Ejemplo.

Sean $A = {♠, 5, z, R, 0}$ y $B = {0, p, 9, z, Δ}$ . Sus diferencias son $A \ B = {♠, 5, R}$ y $B \ A = {p, 9, Δ}$
Sean los conjuntos de numeros naturales $P = {n : n es par}$ y $P = {n : n es primo}$ . La diferencia $P \ P$ es entonces ${n : n es par y no es primo} = {n : n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}$ . Por otro lado, $P \ P = {n: n es primo y no es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}$ .
En la introducción se mostró que la diferencia $P \ N$ es el conjunto vacío. Además, $P \ I$ es igual a $P$ : ningún número par es a la vez un número impar.

Propiedades

Artículo principal:Algebra de conjuntos

De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:

Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio conjunto:

$A \setminus \varnothing = A$

La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:

$A - A = \varnothing$

Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:

La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo:

$A - B = \varnothing \leftrightarrow A \subseteq B$

La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si y sólo si ambos conjuntos son disjuntos:

$A - B = A \leftrightarrow A \cap B = \varnothing$

La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que no comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad:

Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, y su unión es el primero de los conjuntos iniciales:

$(A \cap B) \cap (A \setminus B) = \varnothing \ , \ (A \cap B) \cup (A \setminus B) = A$

Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre

A

B

son una (posible) particion de

A

.
La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto:

El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y él mismo:

$A^\complement = U \setminus A$

Es por esto que la diferencia de dos conjuntos,

A

menos

B

, se denomina también el complemento relativo de

B

respecto de

A

A \ B

es el complemento absoluto de

B

, considerando a

A

como el conjunto universal . Las leyes de De Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de conjuntos, si se tiene en cuenta que

Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo:

$A \setminus B = A \cap B^\complement$

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS

la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los numeros pares

P

y el conjunto de los cuadrados perfectos

C

es un conjunto

D

que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:

P = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, \ldots \}

C = \{1, 4, 9, 16, 25, \ldots \}

D = \{1, 2, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18, \ldots \}

La diferencia simétrica de conjuntos se denota por

Δ

, por lo que

P Δ C = D

Definición

Diferencia simétrica de dos conjuntos

A

B

Dados dos conjuntos

A

B

, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de

A

y los de

B

, excepto los que son comunes a ambos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos $A$ y $B$ es otro conjunto $A Δ B$ cuyos elementos son todos los elementos de $A$ o $B$ , a excepción de los elementos comunes a ambos:

$x\in A\ \triangle \,B$ si y sólo si, o bien $x\in A$ o bien $x\in B$

Ejemplo.

Sean $A = {a, ♠, 5, Z}$ y $B = {8, #, a, Γ, ♠}$ . La diferencia simétrica es $A Δ B = {5, Γ, #, Z, 8}$ .
Sean los conjuntos de poligonos $T = {pentagonos}$ y $R = {poligonos regulares}$ . La diferencia simétrica contiene los polígonos regulares y pentágonos que no sean ambas cosas a la vez, o sea: $R Δ T = {Pentágonos irregulares y polígonos regulares que no posean 5 lados}$ .

La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de unión, intersección y diferencia:

$A\ \triangle \,B = A\cup B \setminus A\cap B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$

Generalizaciones

La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa por lo que al tomar la diferencia simétrica de más de dos conjuntos, el orden en el que se realizan las operaciones es irrelevante. Así es que se puede definir la diferencia simétria de una familia de conjuntos finitas

$A_1\ \triangle \,A_2\ \triangle \,\ldots\ \triangle \,A_n\equiv \left(A_1\ \triangle \,\left(A_2\ \triangle \,\left(\ldots\ \triangle \,A_n\right){\scriptstyle \ldots}\right)\right.$

Puede comprobarse que una definición alternativa para esta diferencia de varios conjuntos es incluir sólo los elementos que aparecen un número impar de veces:

$A_1\ \triangle \,A_2\ \triangle \,\ldots\ \triangle \,A_n = \big\{a\in\cup_{1\leq i\leq n}A_i:\text{ el cardinal de } \{k:a\in A_k\}\text{ es impar}\big\}$

Propiedades

Artículo principal: Algebra de conjuntos

De la definición de diferencia simétrica puede deducirse directamente:

Nilpotencia. La diferencia simétrica de un conjunto consigo mismo es el conjunto vacío:

$A \, \triangle A = \varnothing$

La diferencia simétrica de un conjunto y uno de sus subconjuntos es la diferencia entre ellos:

$B \subseteq A \rightarrow A \triangle B = A \setminus B$

La diferencia simétrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La diferencia simétrica de los conjuntos $A$ y $B Δ C$ es igual que la diferencia simétrica de los conjuntos $A Δ B$ y $C$ :

$(A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)$

Propiedad conmutativa. La diferencia simétrica de los conjuntos $A$ y $B$ es igual a la diferencia simétrica de los conjuntos $B$ y $A$ :

$A \triangle B = B \triangle A$

Elemento neutro. La diferencia simétrica de un conjunto $A$ con el conjunto vacío es el mismo conjunto $A$ :

$A \triangle \varnothing = A$

Además, con respecto a la intersección existe una ley distributiva:

Propiedad distributiva
$A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)$

Las propiedades de la intersección y la diferencia simétrica son similares a las del producto y la suma en

Z 2

. Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto dado

X

tiene estructura de anillo considerando estas dos operaciones. Este anillo se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de

X

con valores en

Z 2

, con la suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada subconjunto de

X

su función característica.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

El complemento o el conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de numeros naturales, el complementario del conjunto de los numeros primos

P

es el conjunto de los números no primos

C

, que está formado por los numeros compuestos y el 1:

\mathbf{P} = \{ 2, 3, 5, 7, \ldots \}

C = \{ 1, 4, 6, 8, 9, \ldots \}

A su vez, el conjunto

C

es el complementario de

P

. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superindice «

∁

», por lo que se tiene:

P ∁ = C

, y también

C = P

.
El conjunto complementario de

A

es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y

A

, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Definición

Complementario de un conjunto

A

Dado un conjunto

A

, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a

A

El complementario de $A$ es otro conjunto $A ∁$ cuyos elementos son todos aquellos que no están en $A$ :

$x\in A^\complement \text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si }x\notin A$

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal

U

, pues de otro modo, en la afirmación «todos los

x

que no están en

A

», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal

U

, entonces el complementario de

A

es el conjunto de todos los elementos de

U

que no están en

A

, por lo que la relación con la diferencia es clara:

$A^\complement =U\setminus A$

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

$A\setminus B=A\cap B^\complement$

Ejemplo.

El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
Hablando de numeros naturales, el complementario del conjunto ${1, 5, 6, 7, 8, 10}$ es el conjunto ${2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}$ .
El complementario del conjunto $A$ en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal $U$ es toda el área del rectángulo).

Propiedades

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el con junto vacio no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

$U^\complement=\varnothing\text{ , }\varnothing^\complement=U$

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negacion en logica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

Propiedad involutiva. El complementario del complementario de $A$ es el propio $A$ :

$(A^\complement)^\complement = A$

La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:

$A \cup A^\complement = U$

Un conjunto y su complementario son disjuntos:

$A \cap A^\complement = \varnothing$

El complementario de $A$ está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de $A$ :

$B \subseteq A \rightarrow A^\complement \subseteq B^\complement$

Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan

El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:

$(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement$

El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:

$(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement$

CONJUNTO POTENCIA

El conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo. Por ejemplo, el conjunto potencia de

A = {1, 2, 3}

es:

\{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}, \{1, 2, 3\} \}

El conjunto potencia de

A

también se denomina conjunto de las partes de

A

, o conjunto de partes de

A

se denota por

P (A)

2 A

Definición

El conjunto potencia de

A

es la clase o colección de los subconjuntos de

A

El conjunto potencia de $A$ (o conjunto de partes o conjunto de las partes) es el conjunto $P (A)$ formado por todos los subconjuntos de $A$ :

$b \in \mathcal{P}(A) \text{ cuando } b \subseteq A$

El conjunto potencia de A también se denota por

2 A

Ejemplos

El conjunto potencia de $A = {a, 2, c}$ es:

\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{2\}, \{c\}, \{a, 2\}, \{a, c\}, \{2, c\}, \{a, 2, c\}\}

El conjunto potencia de $B = {x}$ es:

\mathcal{P}(B) = \{\varnothing, \{x\} \}

Propiedades

El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto. Además no es equipotente con la base.¹ ²

El conjunto vacío está en el conjunto potencia de cualquier conjunto:

$\varnothing \in \mathcal{P}(A) \text{ , para cualquier } A$

Un conjunto cualquiera siempre es un elemento de su conjunto potencia:

$A \in \mathcal{P}(A) \text{ , para cualquier } A$

Cardinal

El número de elementos del conjunto potencia es precisamente una potencia del número de elementos en el conjunto original:

El cardinal del conjunto potencia de un conjunto finito $A$ es 2 elevado al cardinal de $A$ :

$|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$

Esta relación es el origen de la notación

2 A

para el conjunto potencia. Una manera de deducirla es mediante los coeficientes binomiales. Si el conjunto

A

tiene

n

elementos, el número de subconjuntos con

k

elementos es igual al número combinatorio

C (n, k)

. Un subconjunto de

A

puede tener 0 elementos como mínimo, y

n

como máximo, y por lo tanto:

|\mathcal{P}(A)| = {n \choose 0} + {n \choose 1} + \ldots + {n \choose k} + \ldots + {n \choose n} = 2^n = 2^{|A|}

Esta relación puede demostrarse también observando que el conjunto potencia de

A

es equivalente al conjunto de funciones con dominio

A

y codominio

{0, 1}

f : A \to {0, 1}

. Cada función corresponde entonces con un subconjunto, si se interpreta la imagen de un elemento como un indicador de si dicho elemento pertenece al subconjunto: 0 indica «no pertenece», 1 indica «pertenece». El número de estas funciones caracteristicas de

A

es precisamente

2 n

, si

| A | = n

.
En el caso de un conjunto infinito la identificación entre subconjuntos y funciones es igualmente válida, y el cardinal del conjunto potencia sigue siendo igual a

2 | A |

, en términos de cardinale infinitos y su aritmética. En particular, el conjunto potencia siempre tiene un cardinal superior al del conjunto original, como establece el teorema de Cantos, por lo que nunca existe una aplicacion biyectiva entre un conjunto y su conjunto potencia.

El mínimo de los cardinales de conjuntos potencia es 1, exactamente el del conjunto potencia del conjunto vacío

Álgebras de Boole

Artículo principal: Álgebra de Boole

El conjunto potencia de un conjunto dado tiene estructura de álgebra de Boole, considerando las operaciones de unión, intersección y complemento, y se usa habitualmente como ejemplo de dicha estructura. De hecho un álgebra de Boole finita es siempre isomorfa al álgebra de Boole del conjunto potencia de algún conjunto finito. En el caso general —incluyendo álgebras infinitas— un álgebra de Boole es siempre isomorfa a un subálgebra de un conjunto potencia.

Axioma del conjunto potencia

Artículo principal: Axioma del conjunto potencia

En teoría axiomática de conjuntos, la existencia del conjunto potencia en general no puede demostrarse a partir de propiedades más básicas, por lo que se postula a traves de un axioma. Sin este axioma no es posible demostrar la existencia de conjuntos no numerables.

CONJUNTO

miércoles, 3 de junio de 2015

OPERACION CON CONJUNTOS

Propiedades

DEFINICION DE UNION DE CONJUNTOS

EJEMPLO

Generalizaciones

Propiedades

Diferencia de conjuntos

Propiedades

Definición

Generalizaciones

Propiedades

Definición

Propiedades

Definición

Propiedades

Cardinal

Álgebras de Boole

Axioma del conjunto potencia

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